Reduced Density Matrix

#QM #量子信息 Reduced Density Matrix - 密度约化矩阵。 学习这个知识点的原因：需要和DFT的同学合作，把我们NN ansatz算出的波函数导出电子密度给他们用。

理论推导

我们知道，波函数中包含一个量子系统的所有信息，任何粒子的信息都可以从中得出。然而，系统越大，我们的波函数也就越复杂（维度爆炸），处理起来也就变得几乎不可能。然而，我们并不总是需要一个系统的所有粒子的性质，很多时候我们只需要知道某个粒子的某种性质，比如在空间中某个点电子出现的概率，两个电子间的平均排斥能就行了。因此，RDM这一数学工具被设计出来，将其他粒子的信息屏蔽掉，只保留我们关心的子系统的信息。

如果我们想描述一个量子系统，除了波函数，我们还可以使用由波函数给出的密度矩阵，它提供了量子系统的完整信息，任何物理量的期望值都可以从中得出：

依照前文的思路，我们把我们感兴趣的子系统A从总系统S中分离开来，将剩下所有系统中对象设为B，$S=A\oplus B$，$\rho_S = \rho_{AB}$。为了得到能够描述子系统A的密度矩阵，我们基于子系统B的所有自由度偏迹运算，即“平均掉”子系统B所有可能的状态（like $\rho_B\rightarrow I_B$ ?）：

于是，$\rho_A$就只是作用在子系统上A的密度矩阵，即RDM，你可以理解为用于获得子系统A任何物理量期望值的一个算符。现在，我们可以对子系统进行想要的操作。

RDM

处理实际体系中，我们一般用子系统A的粒子数量为RDM分类，主要包括1-RDM和2-RDM。

1-RDM

在1-RDM中，我们只对一个粒子的信息感兴趣，使用$\gamma$和连续坐标$x=(\mathbf{r}, \sigma)$来表示它：\(\gamma(x_1, x_1') = N \int \Psi(x_1, x_2, \dots, x_N) \Psi^*(x_1', x_2, \dots, x_N) \, dx_2 \dots dx_N\)其对角元素$\gamma(x_1, x_1)$正是子系统A在x1处的粒子密度，使用1-RDM能够让我们计算所有单粒子厄米物理量的期望值。

• 特别的，在HF理论中，完整的N粒子波函数能够由1-RDM决定？

2-RDM

在2-RDM中，我们只用$\Gamma$来描述双粒子信息：

其对角元素$\Gamma(x_1, x_2; x_1, x_2)$描述了同时在x1和x2分别找到一个电子的概率（pair probability）。

• 由于电子之间的库仑力是两体作用，因此系统的总能量可以精确的只用1-RDM和2-RDM表示，就像多电子体系的哈密顿量一样，我们能够直接计算总能量。

以上，我们避免了N增长的维度问题。

Others

N-representation问题

即使我们只需要1-RDM和2-RDM，我们也需要先获得总波函数，再获得密度矩阵。因为不是任何一个随便写出来的矩阵$\Gamma$都对应一个真实N粒子波函数。如果一个2-RDM能够从反对称的真实波函数，我们就称之为具有N-representation（N表示性），但事实上我们并没有一组完整（充分）的数学条件证明一个$\Gamma$是否具有N-representation。

量子纠缠

特别的，在量子信息中，RDM是量化量子纠缠的核心工具。我们可以用$\rho_A$的混合程度来衡量子系统A和其余部分B之间的纠缠程度。这个可以通过计算冯诺依曼熵获得，从：往上，纠缠程度从0变深。